Aluno: Arthur Souto Lima

Mat.: 2018055113

(a) Gerando caminhadas aleatórias

Escreva uma rotina para gerar caminhadas aleatórias de N passos em d (=1 ou 2) dimensões, com cada passo uniformemente distribuído no intervalo (-1/2, 1/2) em cada dimensão. (Primeiro, gere os passos como um array N x d e, então, faça uma soma cumulativa.)

Faça um gráfico de $x_t$ por $t$ para poucas caminhadas de 10.000 passos.

Comentário: apesar de que cada caminhada aleatória é única e distinta, quando fazemos várias, é possível ver certos padrões.

Se você multiplicar o número de passo por 100, a distância final da caminhada aumenta por cerca de 10 vezes?

Comentário: com apenas 10000 passos, a distância final era menor que 100, normalmente entre -60 e 60. Quando usamos 100 vezes mais passos, a distância final passou a ser entre normalmente -600 e 600. Isso reafirma o proposto no enunciado. Considerando também resultados posteriores, aumentar em $100$ vezes a quantidade de passos aumenta a distância aproximadamente em $\sqrt{100}=10$ vezes.

Faça um gráfico de x por y para poucas caminhadas aleatórias bidimensionais com N = 10, 1.000, e 100.000 (tente manter a razão de aspecto do gráfico XY em um.)

Comentário: é possível observar, por exemplo, a invariância de escala. Como dito no enunciado, apesar de aleatórias, o ensemble de caminhadas apresentam propriedades bem claras e perceptíveis. Quando observamos apenas as caminhadas em uma dimensão, apesar de distintas e algumas com mais passos que outras, elas têm propriedades semelhantes.

(b) Pontos Finais das Caminhadas Aleatórias

Escreva uma rotina para determinar os pontos finais de W caminhadas aleatórias com N passos cada em d=2 dimensões.

Faça um gráfico de dispersão das coordenadas finais de 10.000 caminhadas aleatórias com N=1 e 10, superpostos no mesmo gráfico.

Comentário: esse gráfico nos mostra o conceito da Simetria Rotacional Emergente das caminhadas aleatórias. Com poucos passos, no caso apenas 1, os pontos finais tendem a um quadrado, que representa exatamente até onde conseguimos ir com apenas um único passo. Porém, no que aumentamos a quantidade de passos, os pontos finais se distribuem de forma circular em torno da origem, mais concentrados nessa origem como é possível ver no gráfico.

(c) Teorema Central do Limite

Calcule o desvio quadrático médio (RMS), a para passos uniformemente distribuidos no intervalo (-1/2, 1/2) em uma dimensão. Escreva uma rotina que plota um histograma dos pontos finais de W caminhadas aleatórias com N passos e 50 caixas (bins), junto com a previsão da equação acima para x no intervalo (-3\sigma, 3\sigma). Faça um histograma com W=10.000 e N=1, 2, 3 e 5. Quão rápido a distribuição Gaussiana se torna uma boa aproximação para uma caminhada aleatória?

Comentário: com cerca de apenas 5 passos, a caminhada aleatória já se aproxima de uma distribuição normal gaussiana. Isso também corrobora com os resultados encontrados no item anterior da simetria emergente de 1 passo e de mais passos.

Além disso, aqui exemplifica-se que, embora os passos sejam discretos, quando consideramos muitos deles e se os tratamos como pequenos e com um pequeno intervalo entre cada, temos uma boa aproximação de uma gaussiana, como podemos ver no gráfico.